随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
& m' f% ]/ }1 o& t7 |1 Q- h
4 H' y9 [, {4 u1 N+ H, h- m当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
8 \- H; v; `7 H2 q( |# g: t
本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
% W. q8 {; o  P5 C& K
/ D& z3 v& O5 X3 h. o为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
8 }4 p' R( J# \% N3 V2 h方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
) |  B  f( C$ x8 a$ Q8 ~% c  J方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
3 C' n* Y" A8 q* A你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
3 t$ w9 j8 A' O' ^
++,
" ^$ c5 c  J8 u7 w1 G' A+-++,-+++,
5 B$ V* W& n+ d8 R; k+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


' ?* e/ `, d- _0 r

8 |+ Z  z, U( p+ i  H
, u8 g# y) @- M1 B
: Y  l, x% _% F/ y
* d: R' d5 p. X: C$ _6 h

3 y4 ~, ^- Z3 D+ V& Z( l5 l9 _
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
& f: Q* }' `  A* E* C, f0 Y( S. `
$ v" M" [% \* o  [: @% N- n++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
/ T/ [: S# y7 A-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。

; m& r) Q0 u9 ?4 s仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
4 J0 z/ X* n- `3 R: g5 ^- e% x

! P" n: j& q* z' V1 v" h* o
" G& k, B" m2 s7 p) s



1 T7 v9 _0 i* u# f! Z7 ]
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
- i4 e/ U- u7 K  E
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
7 R. Q% n. P% J" p! s' z
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
) j0 y  ^$ D# ?4 U2 E/ P  v

情况一：  
! p- I) w# _3 E: {, C1 E此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
3 U) ^9 f! r8 w! A
; t# m# N9 i. m情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

5 C4 ?/ S* N' U5 [# _$ X情况三：
" i' V4 G, r8 ^; q# t. @& y此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
4 {) a/ j2 H: C5 q
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
6 k; V) `' S% ?6 D) z
! f' y3 U6 Z( g$ }5 v由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

2 N) L+ v! g6 s5 \! b8 }2 y- v如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
8 {) c+ Q. ^, z+ l- r* V6 F+ T

5 ^- Z" Z& D* W( L+ H情况一：  
( `9 c3 ?. R: _/ _/ u假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
- Y# G: Y% H1 x0 W6 t! b7 ?

+ _2 k% Z4 w/ {) u# A: y
4 o% T" _( T% ]6 u, Q6 |# O  k/ |: D

; b; u. o- W' ^9 m' E; U
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

6 t" {8 i8 [9 v: k情况二：  
- `, `$ T/ w8 J7 m% x令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
/ K& M7 k0 ?" T* j5 F


- M1 W3 N7 i* D: ?- j& f3 v
# ~7 t. E( Y* L4 y
7 {* V7 {. i' ^. J; ]! z4 g
: `& K# v3 D& M- ?2 L这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
: d4 U6 h, x% i7 g# y6 Y. y




) f- ]  U+ c% d2 Y1 b
; B/ S  I. ^4 q/ _3 L  l* L* X两边相加，并利用 、，得
) l' m7 a. g1 ]9 D% {( l# p
8 L( I: l7 L2 y2 I4 U# c




* K4 r. }9 N5 }若取前 c 项相加，则得

( Z* T$ k7 B, W8 G9 L# r, h" O
/ H/ |% G1 R- r
' r$ K0 j& [$ _" P$ W# S2 v
! q8 d/ Z% `5 R) B% y7 Z+ k
" t* v3 F  D, X4 S: U! I  h+ ^
情况三：  
仿二之解法，可求得



: J  k# h/ D: f* W3 y% O. C

2 U  H$ m3 z+ M9 _3 n0 e4 S
% M% ?) }  Y; N0 Q
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

8 l4 o; m& r. U首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
! y, x7 q0 G7 `9 ~. u3 v/ P

9 R; q/ K2 f( J! a. F4 @定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
9 Y- n- |! `7 a3 ]1 X; F9 f
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

- `& {5 g! ], Z至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
, P* ^6 d/ t4 W2 g- U: ?' w4 x




* s8 Z! q  a8 Z7 w9 [; f2 K& e7 V

* G$ Q8 m) A. s; `6 X( \( t
( p8 d8 N. E* h2 h7 M其中  为所下注之金额。利用



9 B7 v- |. h& B% c6 P6 Z. s( C% z4 o" t




, O) O& J& F5 _% S' e: [3 o可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
$ O2 v: y# y. D3 |9 m. n' \- A
& s  V$ F; |! O) |; [

, c0 p* T8 M) s6 P% o- K( g* H4 ~! v- R

' E7 [: @3 N  c+ L% ^2 B


因此可得在情况二， 时，
! a7 I- T8 f: W( y+ l. A2 o( r- }


7 C' f2 m* G1 j  q




而在情况三， 时，





/ O$ {9 |; |1 {" `2 a
4 A, u" n& ~# L6 }2 x7 L  P$ o& X
3 U$ Y( T2 n$ K% F' A
+ M! _- T4 N4 [  g: n但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
$ M' h. h- a! C
! C7 t% C% q7 r) {/ J1 \$ M至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

* I: j5 d( n9 k附录

6 Z. k. Y; m# g5 F$ `  X- {
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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2 c) V' H8 r& R0 C' p! f' g
5 r. }& B  s1 o" ]& t8 E
) B- ?8 o  n" q* X/ B, q


, @! O- c% e( m8 k1 O! R
9 N2 {5 Q( D+ T9 O. D" m( w& W
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！