随机赛程的最佳策略

引言
' d4 y$ x# J; I; Q
9 e4 A7 I4 x, ^0 y$ _在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

! l. b  u# m5 I! N% D问题
  V( L3 D, `( Q

$ ~* T0 b3 w* C/ d) Q1 x8 P有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
+ q4 K1 n) X4 x! L3 m/ e) ]$ }! C
1 J% c& p. _% j9 M$ Z当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

2 m, E% _, `6 Y8 D2 B本文


, W$ T, l4 S; k7 ~* {/ J问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
8 _0 h, X" f- O9 Z3 g
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
7 J$ ]6 \8 X4 u; M+ X" ]- ]4 M+ f2 O
3 e* @, A: u* I3 s  G9 o; o8 L
: |) q: g: m! Y$ H% h方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
. ^+ s3 @* Y. B- r6 S/ f方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
+ K1 R% P3 Z& h) |" y0 H你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
7 Y) W) ]6 i5 Z* \+ y
* m5 i2 j- f, A++,
* a2 G* G) `) I  [- Q5 I+-++,-+++,
+ [* V7 ?, f: }  e+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
- X) c2 u7 U3 `0 @
6 e: ~2 ?9 q% v1 u" Y





2 W; o: s( U* Z2 l! B5 u
& v# g& ^3 w1 @* h) q7 o; T

0 u, B  |3 Y0 H+ U3 O# X现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
; k8 a( ]9 g2 }( H. Z' L; R( v1 A. J
++,+-+,
4 |, G3 a! T9 d, K- H8 W  ~-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
6 [) S7 g4 p  K0 y                                                                                。

4 K# e. ^# g% ?) `# E- K8 j, |$ D仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

* I$ O0 z/ P, V/ G5 {+ M4 I
2 j0 Y9 H' P. R; p

, v5 m. r3 O4 y, k, I! q


; e+ f$ M9 B) r$ `% o
5 [+ w- J* i! h, }最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

4 E- n$ x' ?" y现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

* z  Q( x* E% P3 P+ g6 c这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


+ ?! H5 k  J. C9 k情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

1 r5 f! w2 E8 i8 u1 V情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
4 _  F! }1 O8 t$ I
$ r5 k! R7 n" A9 c5 h3 X, W* R$ \情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
& A  B' p. L; Z" |' E6 B% C! ~# D
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
- I- Z0 j& T2 G  j& F8 @% ]  f) q% [
) [( {0 G. x3 t( n% a' q2 b# K& P2 j由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

4 w* z' Z; E7 C4 e" w如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

% _6 F6 h4 F7 x! D
/ z6 A3 v9 l5 k% P: e+ v情况一：  
' ~. O) Q. `3 X6 M假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

3 q2 h& n6 l" i- p2 Z' v1 H
* S" Y& j/ o6 F* p

* L& V7 i) t/ P, k
* H0 s3 l3 v) x& t1 A, W' R4 e* ]
6 g2 ~1 J/ c6 J& q/ T1 j( D这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
* m2 W5 H) P9 l: h: F2 C2 o. ^2 L( O
情况二：  
+ ?4 \6 i- E. j令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式



' f% ?; [" m& W. s+ N7 ?
9 Z/ i& r  R; N! k( k3 P

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
1 c! B5 u) Q4 X. H& [3 G6 q利用p+q=1，上组方程式可改写为
; u! S: p3 v- x9 K
# a6 a5 h$ q5 l+ Z8 w
$ r. C' K. @2 q
8 w* K# C& p; {. \& g  _2 C& o1 j6 |


; v4 t% D% T7 I" A+ A" e两边相加，并利用 、，得
6 X: h$ O' `. Z) k- V

$ r+ T3 {0 m. T* c7 D& O( `

0 \/ w% P2 h. C* K" m& I4 O0 M
3 {( _3 o5 e% O% f; A. G% Y& x
; @  _! L% ]5 F$ N若取前 c 项相加，则得
1 T& P; L: _/ y# O. S" ]7 r


0 [0 w# t6 ~5 g! y7 y) n6 z& C4 H

5 \% K8 \, h; Q7 y1 d4 b
情况三：  
仿二之解法，可求得
# _7 n: ]7 ^0 W) D9 D+ B/ s
+ t3 _; u' u& @& d% M( C9 D: P


! A. `/ i* n& [! F5 u+ {


保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
2 Q- E1 e0 f; N8 Q0 s6 n2 a
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


' b$ {8 r* l' i) {' ~定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
% c& V8 m2 P5 U6 m/ Z* {此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

% ?% V1 p5 W+ Q& G首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则




1 `1 Q# ^2 X- M. Y5 r$ m# v7 M# B



; X9 B0 h7 r/ C1 G其中  为所下注之金额。利用


( F# u& f: M# N* }2 [
0 M+ C' C) E( B6 T8 Y% {) ~# N8 |


3 y6 z: x) h- }( [& W5 w1 y8 a' u
6 K: z; j' A. n
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

7 `$ ~) K& {4 b) I" F- B: \7 c- Y




) v1 {  H: p0 t6 y9 n! H0 K$ s

9 f/ H, t7 m. r, W因此可得在情况二， 时，

6 a  ?5 D! }5 T

) d, v9 |4 N" P9 p5 W: I, o9 \' a

& u+ \- [) ^0 ]  Z8 N; l6 F

2 i/ b% P. f' {/ i
而在情况三， 时，


9 a; t2 f" Y6 F6 N+ ~7 Y' ?* J

% B" Q& s! A0 m& y# B0 F' I, T



但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

( v2 l, v  E3 f$ m. \8 }至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
0 G8 S4 p0 Q+ q$ l% t) J

6 w: E. Q& |% B9 G在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为



0 Z9 s5 L% @0 K

$ |8 C& L; l- ~' z
3 A6 d: ~" f  @  e9 @& p& c
9 b/ \6 T$ [5 G4 Y, ?5 U
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！