随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

, _0 |" T: _/ v: N- Y问题
& v+ y2 q9 V! T; ?% g: n

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
4 T% v: S+ y' [( p% t
本文


2 C0 ?" C1 B7 Y% ?- N, Q问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

- r' }# S' G3 R4 V& V为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

* y' E( a& Y: m6 m. h
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
& }4 u$ w- h) C+ z
- M+ m% y8 K# L( ^首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
! D; ]% q. A" I9 s+ H0 Q( N$ F
++,
+-++,-+++,
" Y' [/ E$ ^  `' V, r8 U+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
# f) n/ `% f% L: W/ U& v6 o                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
5 N$ ~: m! D5 j8 D8 u  b
6 P( w9 |' X* n; d  V4 U
# ~# L2 L- Z  E* j  i# b9 @




2 N& o6 N$ a( v& Z$ q5 ]% G

8 _5 ?1 V, ?7 T* u
% Z" ~7 y( S( i" f. G7 g现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
6 S$ C+ m4 d5 y1 B% Z1 W; L-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
, A' w+ e3 v* A8 f; o0 N                                 
  D8 R( `6 ]# {' S6 m+ K, ,
) a1 K+ a* P5 X9 O( `                                                                                。

7 X& P/ i! }, b1 J仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
0 c0 A, G+ ~" ^& ^) I' s
7 J* W- k; @. I
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4 ]* \) M! z' O2 C


) N7 ]- @/ n8 s
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
4 f: ]( v) V8 w
& C3 a# w, O) O) V现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
5 X: y' w1 w8 M1 q7 N3 Y
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

7 p# h6 M5 M1 s5 o2 ]
情况一：  
( I4 |$ M2 A& }此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

  x% j, K* P: o- Z! X2 p情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
9 m+ e2 K+ l( B( _此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
* y2 B2 k% @1 x8 c3 O" o
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

5 N* A/ C+ ?  ~4 D如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

4 b, z5 K2 M& W
情况一：  
7 F/ @8 L% F# q' d假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此




9 d* V! F  [4 U8 p. K+ H

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

* a* ~! u+ b* i% C) h% n1 G情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式


  a1 \3 f+ i: r( z5 k, n$ M


/ W3 @9 |& L/ z4 G+ W2 r9 B
  Y1 E0 a+ ~; {# c0 t( ^  @这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
/ H4 m, ?' f: w
7 z& `3 ]% e/ j+ n7 p, @: Y
' R* d0 r- L! N+ ?! e# M/ r3 p
/ }8 u# }  U. J( ]# t0 C

$ `2 b5 w* c9 G! C( k5 W
两边相加，并利用 、，得
8 u" R8 E  b2 o( I7 v



/ d0 T! b- \; {0 H8 e  x8 I+ U
1 Q4 ^. J! X. n5 d8 f, r% o
若取前 c 项相加，则得
( l7 K( M2 {& W. J

# }; @+ v) o2 R/ d


3 ^' ~, e( y. u, Y, }& J
情况三：  
仿二之解法，可求得



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2 S; z" {/ h2 f  B" ]; i" X

5 d, R+ H: p; v9 c7 S
4 l2 |. Q. W  X2 D保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

% q# [7 ]# U2 ?2 p: c' u首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
& Q8 f  Z0 p' J1 Z$ i* A3 b1 Z
& t: O- Z! P2 n$ X
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

$ D( w* d: P5 _0 H$ @首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
- t0 I' q; t2 `1 ?
3 y; k$ i7 F1 ~  x至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

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/ h/ _. s% W# ^  ?' y
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7 E* B" E3 b$ W0 x0 ~其中  为所下注之金额。利用



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可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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因此可得在情况二， 时，
/ p2 E3 W+ Q  r. j3 S
* B8 p0 i2 ?: B  l5 S* a/ B/ p
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而在情况三， 时，
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但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
" P  T3 D# f0 k& P4 u
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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! E" z0 [) q+ w% X; P# e附录

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在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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" q* k/ v9 _  C; w2 A

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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！