随机赛程的最佳策略

引言
  r# w5 _5 |: u$ t& |( F. u7 `
: j/ h  O: o7 ~4 z在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

& ^7 S0 b. I- C, J: a( ?问题

' x7 P) j6 K2 p/ k( ?, p
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

% l  e8 j, u3 }4 p5 _8 b本文
+ [1 ?- W- H$ a/ D8 I# n4 T/ Y

) k7 n0 U) G# m9 a问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
1 `4 Q3 g  b$ }: Q6 J
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
7 g" T2 t0 g$ n, E$ _
: N* y, J9 R- c; `% M
9 h3 ?. U7 Z2 c3 r0 z方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
- \* H* p0 T! ^: b$ |8 \: [方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
6 D( J5 a& R% D5 }! z0 c
3 ^& W) ^! S. i& r/ w. k首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
' P2 }/ }. Q) q
& R% M# i+ u, Q& j- o++,
/ V) ~+ `$ t% ]% X9 J+-++,-+++,
# v  K" D  R3 I- v+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
+ N5 i* @# O0 y7 Y( l8 J% E: `在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

* z0 `( Y$ K! |+ O2 r


9 w! ~2 S( s% x/ @' E1 ?& j
' U: C6 q1 L4 d; c. U) g



- B" u, G7 o" p+ N( @3 J
( P- F! e+ h" J1 d现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
  m. u  W: b7 u- w# R                                 
, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
. A+ X6 [/ z9 T6 x( `" h
) E3 y2 r0 }0 W; p9 S. j
! S. ]2 b* z6 E& q5 E
+ D# b5 C9 T2 s  A" n( j
1 ]) b( h6 y1 _% U6 }1 s: u8 r

- Q9 k0 e' [+ ^+ N; E: ~2 y
+ h4 I% h+ I7 P8 |' m- Q
% ?, ]. k2 `8 U4 o& X% `. i' F最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
7 {) |+ ]* A; `( h7 ]+ b/ {
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

' r1 |4 U) n$ w9 l" E这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
  ~: m# c9 x" y& I1 H
+ d; O% r0 o' Q" j9 l! i2 @现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
2 p" D4 Q0 P, l+ s+ a* c
! w4 Q8 R8 a7 g% V' g  b
$ c) ~  k3 t# X情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

3 Z( ~) _& L' A情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
1 L  ]: Y1 t7 i2 l7 a3 m- p& L
情况三：
- U8 X) l# o" k6 I% ]此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

6 d& O; [0 I! z现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
8 g. Q1 b, I; `
  e! A9 v" r2 f  k, g0 s0 T由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
. k9 d# K: h+ ^
' R1 ?5 E' r( N如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

4 W1 d, W0 H7 F1 ~, ]




5 G( z# l- U. i" z" r/ n这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
0 Z' }6 \9 S% \& a6 c0 T! q* p( E
& F$ Z9 ^; `# j情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
/ S1 u& [8 S8 G# V

8 [! X5 V6 P9 a0 E. F7 j! O



这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

4 t0 H$ R2 }5 o  l
' s9 Z7 ^; b  |% Q. P, q5 |7 W, T+ `
- ^/ [5 _% u. ^" r9 G& f
+ g0 Y6 l2 k: q6 E

4 f1 g9 w9 f- W7 B+ ~1 K9 a3 s5 C) r两边相加，并利用 、，得

& u" p, N9 |' d; D  A



' d6 t/ X/ n, \2 B
若取前 c 项相加，则得



- ]% _+ h. a4 ^& A% f0 e3 F3 k

5 r1 E4 }6 k0 P
情况三：  
仿二之解法，可求得
" b( e3 [! w, F7 C( a' R8 L  V

2 t* k, H' [( E0 r

. J/ D8 G$ n1 ?- I  R9 O: H5 Q' U  T

  d) k# h! j/ f
, i8 w* ?8 l0 _保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

$ k3 M1 z* Q# m$ C# k首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
; G9 t3 a9 p9 L1 k# A

& @- c5 o' J& ?5 a定理：
  n" U, d: @% M! l6 a$ d- g5 @设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
5 ~: c2 T5 g1 L4 w6 K4 f
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

$ z: O3 p1 `' P7 C1 T0 ^9 _% N首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
7 y, C0 n) [; B( U' }% t+ W
* q' ^1 W$ s- w1 C3 F/ n' ~3 J至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则



3 E* x6 V) D1 s


9 f! I  v  K; @- w
4 F6 {2 Z/ i' S# i# `5 o+ }
' T# _1 g) _' S2 r2 w其中  为所下注之金额。利用

1 Y# J' O! E. h4 m
$ @* c: U$ B, b( p2 q2 O

) T% X; o" Q$ f" o0 r9 y

4 t1 E& H  X5 y1 m* |" F2 F
# Z' |9 E, c1 S- |6 B% [
" K( [/ O' ?  u# N- y可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

# Q3 t3 m8 v5 u+ F9 }  |
: k6 I2 E0 n$ L2 W& H
% F, l1 b- h! D( @
3 R: Q) {/ X( d* w



因此可得在情况二， 时，
; @* L8 [" p' u5 \
) J& A4 h& c# S" J4 j0 y


* b2 a2 P% d' H) ?* a' U" u

! w, `# t' c6 }/ Q. ^

. x) H. m5 \- a而在情况三， 时，

( ^% T0 m7 V% p5 h! M" ?. k- W  m
. Q! ]% g, X) @* z4 t& l
2 V2 L5 h+ i% c" i# I. T
$ l1 {3 S3 G8 t% h6 ^( \
- L& O/ d& \' G, y" j! R


但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
. i' w  P4 E% w' X
) d' D) O/ D) P3 y; b附录

! \, V$ O- ^7 ~, b
  ?3 a8 B! W4 u$ k: P在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

. Q, ^$ u) b* g. G* n7 E* Z: a
7 x$ S7 V* I9 s& ?- N1 X9 u
6 m" c) d% V7 T. H3 h
1 g/ ]7 ^" @9 B- Y# G% G! I* c

& h2 K$ F- F- ~1 T
$ @) L, ]8 p5 P
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！