随机赛程的最佳策略

引言
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在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题


) c' j- x  [& r, z& `有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

8 @# C+ p7 B+ Z% [8 O) A! O' J本文
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问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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, M' b. ^3 }: h# K. B为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


: o+ c5 Z3 B. f# o5 ~方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
' o( D( Z8 V6 E8 |- Y4 D方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
1 @& _" ]4 g: q: W9 y方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
$ }2 ]. _6 d) [4 M你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

/ T7 _7 l" z6 w; `6 ~$ ^: ]+ V++,
+-++,-+++,
( E5 k- |; z/ ]$ I5 N# f. `; F5 {+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
$ B( J- ]+ {' x% R7 ^5 N                                                                                                。
  B1 b. a6 L3 w- ], \5 Z$ N2 f在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


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  M3 ^- E' s+ r( {& S8 ?
& i5 e% b( P; Z* J' ~4 ^. e
( l$ c1 V& D* z: T: p" A' g) x# f# d' e

1 H4 z% O# ]# A2 |
9 q4 F' a; m/ z0 g& b

$ ~% a, T2 _9 G! w9 g& ^现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
% j! t0 L, g6 m+ v' X3 G! R
9 H( F/ ~, h/ Y9 ^++,+-+,
- V0 E, ~" \* `$ L+ M-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
7 n6 Q' l6 j" ^2 h0 h) q# }; s                                 
, ,
3 |0 W4 D" b1 t' _3 \; z7 v                                                                                。

$ T4 Y% {7 D0 m& r仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

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' V8 t$ x8 B+ M0 c9 J3 s( e




# h( ^$ S+ K3 v/ s+ L, f( C8 @; C
- Q8 P1 ~  `! n" r最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

# M+ @) [; T# \9 O; u8 A- H8 u6 P现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
, ~9 E. x$ V" V; |" Z- G1 _! N9 [
' V1 d  ~6 N. k# y这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
8 @! |& q2 @$ L9 D
, G, T$ p3 \3 S- l现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
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$ k  P8 T" W5 Q1 J3 {
' \. p# H1 w) f* ?% k情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
. B; K% J# r% @. k* ^此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
5 a- E4 C! O- d* }
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
/ r8 u$ x; N# c) c

# I4 `* c/ n- @& r0 I; G情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
1 T: W+ m( ]. k5 e5 ]# H: x
! V% s5 ?$ P# q7 o
- n( b3 e) i& U1 ^4 D


! P$ K; m* z! ?8 o+ s0 {) |) Z
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
* ?) a; F& N5 o* b2 H
情况二：  
, M' n' q. o$ E% J- X9 ?8 n令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

) D3 Y8 ?4 y& u. D8 w  b
" H3 G0 j8 a1 _: V2 `1 s* a


' o. r  H8 P/ y& \0 c
- N2 e7 j/ D' U% M, P- Z# I4 @这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
) E! J% W# [- h3 F, g利用p+q=1，上组方程式可改写为
# j% r8 t; Q7 ^





两边相加，并利用 、，得




9 s( ^, X  A( i7 ~8 p

若取前 c 项相加，则得
. S0 f! }4 S, B) v" J. N
; ~# t$ ~7 A2 w7 w: Z1 a( b
0 t+ X% |, @$ Q8 M+ ^& {2 z$ b+ K



情况三：  
4 a) y" e: D% l  K  F仿二之解法，可求得
+ U# g& O0 I* {- E8 ^( k, W7 f. X

( b- _- U4 F0 |
; i8 C2 B" u% R8 I+ A, h/ R


1 S) h( O  T; a
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
3 I! L! u! ?0 \$ f; ~9 ^
7 e6 @" y6 d1 N首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
9 u$ C/ Y2 K) c( r" Q5 z8 S
1 s4 |# n: H8 e2 _1 a) f
定理：
5 }- S$ K. }8 {5 e1 }5 `/ S设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
. V3 b$ {# M+ N2 `- R& {此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

- ?1 j* K, u' O$ K+ c, ?现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
! u& S% h7 B, W3 A3 n; V* E
  e: B% u* m. Q2 e首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
$ V# z% X) H0 B+ l; V4 Y
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

2 r6 S4 a. ~, f& |' Z  b, l

3 P& P! q2 @3 j7 h) S/ j' ~& z2 y
% r# }% T. x7 [+ M6 w$ u8 G6 X
2 S7 A/ K: s* a/ r; x
, C1 Z9 D5 W9 j0 X

- Z( R) b8 f4 X0 X; g7 M) B5 N: g其中  为所下注之金额。利用
0 Z$ M( R0 u9 x0 R3 O



) h( ?6 l) {; I: X7 z+ B7 ]

. x% H. C" D& b3 K! V
( r( a  R1 d, u- E/ i' i1 h
( Q( F1 p* Z9 R  x4 F) z可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
1 }+ g5 N0 z* Z- X6 d6 P
- E" h( j/ }) D; Z






& H! o1 S) W8 B/ w3 G因此可得在情况二， 时，
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6 i! W, b! r5 g. w3 s& m
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7 u! c% ?4 r) S. U) E而在情况三， 时，
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4 P- [5 g  @! j' B
; {8 c8 N/ {0 G, ]5 f% B9 x3 I

0 X2 c# i4 l. \# k但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
5 J& S1 A" B2 W1 W. k* \0 s
2 s% b/ W( O8 C5 q+ ?( M附录
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9 S6 d0 l# K; z3 @/ w4 ~
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

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* J. P/ P" M3 A: q: g0 R
' t/ y+ L$ A/ S2 s$ N5 B  r另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！