随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
% W) b- S) t; h* s3 {+ c" \
  Q: P* |* @3 M' W问题

7 _" C" J4 V! @( c3 Q2 B, b7 `+ C! {
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
9 [  v% w+ G% j/ B/ ~( Z
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

! V' Q( e+ q( z7 \本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
; @% j) V* v* R: _0 a
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


: z( z! v* t2 I+ z方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
+ @' M# h! S- ^2 D* @0 W, ~  ~方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
3 q- g! z' {* a: J+ q7 F方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
8 Q1 h) L: q% t1 z& Q: b  |+ m
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
# o; K5 j3 F. z& n7 f# J2 z
1 a7 l. E( e' ?9 t++,
: ]% V7 J0 ~$ Y( Q8 P5 Z! o: B+-++,-+++,
# F. ~2 M" i! y1 b+ M+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
& X) j6 O% @5 e3 H* d5 @6 w4 [
! c6 M7 v" b5 A  f$ g- [

0 o- K" h+ A3 T8 V! r
* Y* e* G+ j: m. q1 T- `( K



! m2 D/ T2 R' c! b% |/ Y2 K
+ Y8 q' |9 t$ ~% ]( E
8 r9 Z# P7 j. l5 ^: }2 Z9 ]现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

9 ]0 h" {3 ^* k6 G! R2 X++,+-+,
1 d: R) f$ U' V- D$ P9 c' ?-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
* x) W3 A  x+ P-+-+++,-+-++-+,
1 t+ P% e: ^- K1 ^% r( x                                 
3 x' q1 b. O3 W1 q  }, ,
7 s" K; Q9 p8 Y" \  q8 u- l# M7 R                                                                                。
* W8 A2 R0 L: |, n" I
# `/ k: O, I% y仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
# l3 b4 q9 x2 p' d


2 n2 w, A  w( l

3 \8 m- s" F4 W4 V3 M' h. ?
6 M2 p/ _/ \% e4 t: ?9 L& N

1 M0 {# \$ H& J) r6 B" f最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
7 j  l7 r4 q! C- F0 S% _, [1 M. g% u
0 e# u8 t! o$ ?; i0 V  K现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


0 t3 X$ R8 ^, i  F* U9 w  T情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

% |  c! ^. l0 J; t& B情况二：  
+ g2 V2 E- g8 C' ~- G此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
0 _3 T: ^. i0 y6 _
  s) L" W' V( u$ r情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
$ s, i# C7 @/ G' a+ O# f: ~% }) B$ N
3 C* F" A( p, P6 K  W现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

2 S! @: M# H" y; N/ ?4 K由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

3 Y$ h" i: P1 e8 H/ O
情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

! H$ s9 L- t* z' F7 K- {6 ?3 ]

6 y0 A4 O4 R) D
6 e6 V. ^9 \# o
. e: s5 j4 K: N% q" W2 k, |1 N; k
" I* p' ?! f& R这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
( Z! e8 H# {$ t2 D$ F! k
) [  ]2 ~7 V. |情况二：  
# k' q/ u; I0 W% l4 P令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

4 F' \- S9 \8 d4 K2 n
" d/ C+ r/ J5 W. s
/ d. K, r+ w% {- I


* A5 z" ~; x4 g, `( U' V. y( l这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
4 T; P7 K" L2 v. {" }% R利用p+q=1，上组方程式可改写为
" \, a- L$ |+ ^3 C( q- O# ]





两边相加，并利用 、，得
  N$ J  f0 H  t/ N/ g2 ]





若取前 c 项相加，则得
" h' Y0 ?* ]) e2 Z. A

% g1 x/ D3 [/ Y7 y# n# G


6 q: F  y" ~0 b4 R" _
% `/ B- X3 y' x" l! {) s2 A$ b情况三：  
仿二之解法，可求得
) V& k$ g. `8 D/ H3 \- A; j



" U# C& n4 ~; f2 c4 @( o& u5 |
! ]' o8 s/ D% n6 D2 B6 F

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
4 r6 U/ b$ _% a/ _7 X  ]% o
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
7 ~/ e. ^" k3 [% r

定理：
- g( R& P0 |( d. r设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
1 T# @4 o& f( e5 @- J此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
2 S" r* }8 U' ?* k
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

, }9 Q, ~5 o! l7 \2 Q) ^/ P
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" M- f0 |6 c. O3 e* }其中  为所下注之金额。利用
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可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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因此可得在情况二， 时，
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% B; i6 r/ E% I: l而在情况三， 时，
7 F' h: e0 U: \- [) Q; v# S
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5 w/ B7 A% Q6 ?
9 x! g0 q: W: N1 N但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

& ~& I) D7 t7 h& w8 p( }, J附录

2 Z) d1 g" m' b7 ^$ L* r2 n
% v- l: N% b4 z1 M0 x, S在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

4 w# k! T8 s" R9 r; I( h/ E: Y

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) S3 R# S( h2 u+ Q

" |$ B7 T$ O9 z7 f; r0 }
# a( D6 p) b' f* a; S
" s4 h7 b0 L5 P$ O) T另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！