随机赛程的最佳策略

引言
% ~: c& @$ ~) O
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

$ r: X* O/ W  ]6 R! U5 i问题

1 j' l$ Y3 I3 ?# }: M
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
+ r' _; q3 _8 K) m  g4 p: \2 h
8 x8 ?4 ^0 O7 {, q当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
2 v; F& D$ ], O% ^
# r1 S. p) L2 T9 d3 ~1 B+ z0 O本文

( |7 @/ p% c- r+ A/ x5 h; K
7 L  h2 _5 ~* \" h6 f问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
7 q; @9 g; g+ b3 @& y
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

8 Z* c( h+ ~+ A1 G
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
' [' j2 d2 p7 s# E) _8 ~方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
9 S# }2 r( s( `2 I方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

7 M6 O3 S0 }& R$ Q首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
4 i, k) C6 i# m' n
; f4 [- v! p( l# J( V++,
+-++,-+++,
; y. c/ t. @1 T+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
( |8 P& o0 m& }8 M                                                                                                。
3 U) K! X; w- h8 K% J# _在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为



' f1 ~3 h1 f, b
( B/ W8 k) c$ l
3 y$ X4 }9 Z1 ]# D




* z) \3 G9 E% a& E现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

7 [0 h, q0 g0 a$ i2 \6 C7 W++,+-+,
9 p1 F5 B, M" `# q, f, o( v-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
; Y! Q! ]6 ^- J, p+ b6 U. V0 e  K8 N( P4 H                                 
, ,
                                                                                。

3 u  _, U5 H. O; A仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

0 B9 _' y% u2 ^9 c% t
2 K3 h- X7 r! H9 D

9 w( }6 b) @, C2 h9 y* _2 ^
/ K0 f7 W8 H5 T7 X6 j" ^


最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

9 E7 j; y9 L/ C8 s2 [现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
0 o4 j6 `! r! k7 o% B& s: x
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
; P3 }1 Z1 d" `3 J$ k
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

! d7 d9 k% D. }% W/ Z
情况一：  
' F& o: D6 o# x% c此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

; m( P# c: a5 V' g* L1 Z2 o情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
! K* k. j* H) Z* i8 c此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

$ l# c! p% y# ^" Y$ `现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
. l5 T0 h/ l  i) Q+ Y! a* d
7 a( [8 C  f7 W) z3 U+ U+ g由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

9 u; t. Q* g: \
% v- I- Y# N" f+ a) U% z情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此


4 w9 a2 \  {" g( a1 s8 c4 q( Y

) T+ _, V1 S& b
; W2 @* X0 O) u3 v. S
, _( S( n0 x, U( O5 _  L- W7 [: u这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

' \, V+ v) U$ P情况二：  
- p2 L! |3 i" G3 Q1 [( s. ]/ u5 r令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
( @- u' o1 e& e) q0 }

. F0 T5 z( x# r9 @6 f

& ?' p% a5 l) h8 U  a) l, J% u
5 v5 m- a1 d9 t5 t% W- ~# w
; O' H% ]. {. t& w/ l4 t$ `这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
' J( b3 g9 }: z& O  s利用p+q=1，上组方程式可改写为



5 ]* m' c/ v- v5 ]: y+ V8 n
8 e! V% p0 W& Y8 j+ ]* z
' X) w) A3 A" ~6 P$ V
两边相加，并利用 、，得

; M9 Z( F# _( a3 d  P  q- a

; E, L# P+ h, ^3 j# F
6 c0 q1 p0 K6 ?' d5 {

$ [2 v; w6 n$ C8 a0 v+ y若取前 c 项相加，则得



% Y. o4 J+ e0 p+ W* F# e6 R

; N6 S- x! Z0 q- A2 j
7 @5 ^5 w( o& E情况三：  
仿二之解法，可求得

" A, |" a( R8 B- E. |

  d  P+ A2 V" N6 b5 ?; L/ l/ r2 g


* r" u0 }1 k6 F5 c1 H
% f' @* k7 t5 E; n  Z, V保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

' p  F1 T5 W; w7 j- l6 P首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
, W9 c7 a. i( \9 \6 V

0 L- U! R: ^+ c/ u/ ?& f) c定理：
1 U7 X, n9 K7 ~# g& U$ t) z' Y设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
0 z. m7 }2 T5 T6 s$ F此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

1 \# R5 U, E3 J4 b3 A现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
/ \- d7 ]! e3 L
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
( c' A2 w3 m  y( q" o: f4 g/ A
/ I7 x3 B8 h0 c) v& V7 P至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则




: Z+ C) g: e# s2 g! A9 _
0 M# u' Y/ f$ s4 r& t
4 a6 _/ K: d+ u5 i& ^

: ~. w: i( N5 K% v( z* I5 _' F其中  为所下注之金额。利用


7 Q0 t) s4 y2 f

7 a4 P( M9 A! m6 g0 u& E
& p1 j1 }5 o, I% y8 [/ J, k
( A3 Z, T8 K! {4 y6 }4 m* X
& c6 e! b$ m1 M3 C& B) U/ T! b5 [
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
' @# c: u) t% G/ a
' M& z3 i. N, [! V! x0 C






: ]) W1 N; l8 H' |) W因此可得在情况二， 时，

+ u7 e, E4 _6 y
/ c4 Z" Y; Y' A7 h% Y
7 t9 d' A7 D3 `
. C3 \- C$ W. b( r& Y# d! b* Q& ]
3 G; _5 L8 C! [. Y# \9 d& K
3 }9 i: ]2 O: l$ ]4 B) V

而在情况三， 时，
* q8 z; q, c, a) }5 H$ `$ B5 L& B0 y



! M7 Z( W' E4 k& X! y



但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
' I. x( g- A1 p' s
0 X8 }0 f6 S" T. x) _$ @至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
, |" p$ ?/ d! w1 f- p9 l
附录
) _8 c4 s' Y  j; z8 b

在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
, H6 z4 o# z: b+ z9 ~% o& k* M

  A+ k5 ?* S- i

6 `4 a7 g  ?. E; U  [) x( G
; e5 y$ u9 u7 q8 N, }


# `# v/ p" i" ]# i3 z6 l另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！