随机赛程的最佳策略

引言
+ L/ M6 v- X4 S
. }3 Y8 N9 A( P# R. l9 C在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
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有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
6 h7 U/ @+ w0 U! ~  J6 ~& F
% Y9 g* X+ ]: X当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
- I8 \3 ~9 j% [

% J- c4 c' o2 i6 U问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

' w( j- A# @8 C1 Y( S) A: g为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
  C) h* }$ ^0 N3 d
$ `1 j  N# K  M; C++,
1 t% T9 c( A& ]+-++,-+++,
% ]& ^1 z) {; ]( e  f+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
; C5 a9 v/ ^. _" f% X                                                                                                。
0 n& _0 p) `9 S1 r4 ^5 o6 V; I在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

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1 x+ B! [/ e9 u: ]
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& {$ S7 m. E" Q$ a1 f. O/ @
5 V. L$ v5 H6 a8 e) j5 [4 W
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现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
/ p$ e$ X7 z* o$ U                                                                                。
9 [9 O* s$ {( o. T7 h- O1 p
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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4 c0 S' S% \3 `4 r5 |' L# ~# y



9 p( d, F+ h* Q# u. s6 C" v


最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
; [: ~7 {$ V; I+ `0 W
2 W% S5 D6 L* b2 O  C1 _6 ]  l现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

* J6 A$ k; J4 ?. L
情况一：  
8 S# i$ z7 h) c1 a$ r9 O此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
" A* C: P- }8 {: z
情况二：  
, v  E$ G$ u. e9 M$ G* f2 `此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
5 h/ _2 Y2 W( c# p+ |' r; P
2 D% ]- u1 ?4 n* V7 I- k- A, w$ R情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
: T! J9 ?  L( J+ `0 d% U8 V/ a) O2 V
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
+ W7 t  R$ {  Q# P$ A  f( W
) ?& ?0 R& S5 `6 I" s; \, `
情况一：  
! s  b7 F% Z1 Z0 m) H) W/ T* u假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此




, ~" H5 v7 y/ ], w! Z' U$ x

/ L4 O1 R3 V+ e# u9 J; Z/ T这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
# V; O, l4 d4 F
情况二：  
+ J/ A. y9 @9 }7 E8 \* Z6 d9 I. {令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
- V9 l4 h& O( @  e: D) e, P
5 ?. M$ \3 Y3 F

7 W. B; e+ p& k: x
: c" A0 d# k- U  P
5 k  ?3 }$ h- r
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
$ V0 H' C! y4 ~; e2 u( l! x0 [
5 C' A5 b4 a$ `  I# k6 |$ t
, H- T7 ]9 A8 E* a
4 q0 y8 L3 _4 o1 |% _: G


7 b: E1 }1 g' x# A: J两边相加，并利用 、，得
/ A( ~: b! w  a# Y% G
$ u" A9 F6 t- @) V! m
& }) R6 }1 a  I% P: E, Y



若取前 c 项相加，则得
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2 i; f4 R/ {  D! W5 G
' x3 F8 t& ]% j/ _
% h# u% o5 C+ E% X. s  @3 w" B! s: v1 e- R情况三：  
/ K8 t! A" o$ Y仿二之解法，可求得

5 x- }( K3 W& C+ i/ H& c1 m$ ?, {




; i- [' g/ B+ y1 k) [( Q0 H
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
1 c/ T. O( f! a+ t. ^% X# |: v
" r& |: _: ]8 K( j+ l  M$ P2 }1 w& v首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

0 r" _- |6 i& {5 ^9 }5 R5 t
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

7 y5 q; w3 q7 u+ U4 i* j, t% K& c现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
9 N4 a: J# [* L4 M/ s+ g* S7 b; u
% d  x: r' X: V, t# h8 A+ \( x+ t首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
# Z) i# q8 [8 I* ]0 S
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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" c3 [; M& X3 ^# i1 n


' {4 Z9 O9 }) d# U. F; a8 J


2 ]5 L% t* \7 r' r/ y其中  为所下注之金额。利用




" G! t0 \$ c* E9 p0 E; D' R0 D: B

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: X* D; P; Q& B( X% A' [可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
) a5 S' \8 J- R
6 y% k) r, Q4 Y9 N8 O2 J( u
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: u, e1 I7 o, i( \. G

因此可得在情况二， 时，
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而在情况三， 时，

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  u1 J4 R7 t4 n
* z; ^) O$ ?5 H! [8 a但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
3 K( x3 a9 L! V. o8 w: _
2 f" E. a! x( `% `* h至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
; P: p& S0 q, g6 Y2 {/ a

2 q+ J, h$ [) r4 u: W% z) P; n在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为




# O3 p% O% |! B- x3 [; {) H8 p

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4 U& @' F- W' _/ E4 R+ l' v
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！