随机赛程的最佳策略

引言
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在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
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* e. ]" M- L( w- Q0 b
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
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当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文

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& r/ |: r/ B# G- h" W/ d问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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+ o: p6 P  M4 S* u8 k为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

% g2 x& N5 y3 T9 g. g首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
9 R7 \2 W% `( E0 c& a1 N+-++,-+++,
/ E% B8 x; v; S4 t7 u' D% y# m$ G+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
# K7 ^$ w  C* c; a+ F& J3 E8 F& d在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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9 K0 c) E* b; G. M) f& ?
6 E7 F. j+ Q% g

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
8 d" x0 D# b, c) f" H. u* D; n                                 
, ,
. [+ B) m+ I% x# z* T4 n                                                                                。
& @3 h- o0 q+ z- Y; a% J0 ~
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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# t5 D6 O$ ~! f6 m9 Q6 c
4 ^2 H) A- ~& Y3 W# w: b: s- B
  |1 l* P3 {, R3 l; B


最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

8 W2 K# h+ P6 f1 G+ I6 b现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

1 v" f- f5 w: c2 b: b1 [/ [! L# D* `这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

; w+ }1 E2 R' Q  F; T现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

! ~. W2 [0 o  _) K
& J" M. L5 n" ?5 @; h情况一：  
( e' Q$ D# v" g4 D5 f3 a/ T* V此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
, x: {4 l8 M* F" z此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
3 q+ Y) s  I; F2 W* `此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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  x* ^; D; g: s( }: U/ w由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

$ ]9 v; {: h+ V# f如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
; [- U( r( T; F8 ~9 D4 J0 s3 m

9 \% @0 G' Q3 W3 B3 _& P" Q! a情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
) s* ]$ r8 u: c; J8 j, t& F- v- `

0 a! f9 n  O, h6 D- ]1 y. w
2 R: I. C+ C: X0 ?
- [+ c: c& ^! \+ X

' `0 n/ I8 q, z8 `1 s( Z这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
% L. A4 i) h* E6 R. e+ B" P1 R% t, U
' ^% ]6 o. E8 H8 O8 r, H4 D0 ^. i情况二：  
, C8 M3 n" O: h令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
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# i7 a7 M* A# ?: m# H

5 K6 m4 e- i3 [

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
# b+ p, F* b% b利用p+q=1，上组方程式可改写为



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) j4 n* U3 z1 Z4 e/ ?

两边相加，并利用 、，得
0 A3 ^. r$ A; B0 X; ^


& B; L. l/ x, Q8 e) i& ^

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% X" f; v/ Q/ L& j) A若取前 c 项相加，则得


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3 ]0 W! T% p  n
8 g( d% b1 r/ w; b3 t4 l
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% |' t! G( w3 R  J5 s情况三：  
仿二之解法，可求得
  i0 b+ c& g+ m  a* t) X3 {* ]

5 x2 T/ Y# Y' h# p. r  w0 ^

7 Y" E9 t+ ?  J) O" E/ B5 u0 n
/ t- v3 W- u8 C

* z7 S, u0 T0 E2 V6 V保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

) k% A( j& i. A1 r, S首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
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7 O/ t6 [$ S! K" T) S5 Y
定理：
# x4 D- a9 N' G5 j( f3 `  N设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
5 i# ]1 `7 L  `+ C/ i此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

; `5 b3 d. S) u# _# H至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


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$ v& u2 K! }6 d2 l6 e: T
其中  为所下注之金额。利用

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可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


$ H+ V+ i3 t- ?! p+ E7 o, M
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因此可得在情况二， 时，








, o3 a1 y) M2 R1 y8 `而在情况三， 时，

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# Y" \" ~$ W' {% R0 W$ H) y5 H

但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
/ y' u$ m' W& r
* O% K9 b' ~' S' J至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
4 G+ [- N) p6 }* a3 y7 l* w
, x5 a9 `, G# m( V6 ^% ?. X% }附录

/ B0 O: {, c7 A9 z1 O
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

% Z/ q  V, T4 o/ V+ B) L9 l

3 X3 x9 _: H* i$ B; _6 a

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$ z9 g1 i2 {, P: f+ l' d另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！