随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
# t; p9 I) I, }( Y8 Q

, @. l9 w6 F" ?6 I+ A3 H; {' k有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
) y! m- u  R: W. }, e7 {
  l% D5 @; e6 c% h. _, z! m8 a当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

( T2 r& E8 t! q本文
1 o' o) b- A5 N2 b  q+ H0 |( e
5 B* U+ M8 m9 ]) H" ?- W
- o; M1 Y4 L9 n8 [8 J7 b- D5 {问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

9 `' P2 K0 N' J' O! F1 r  r0 q5 {为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

, G  Q$ b; z1 N, j
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
# p$ C% y; V; ]. J  N你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
+ l! |1 i5 x2 K+ t) `
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
- _/ ~3 g& [: i7 y  G$ p0 Y7 G
++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
- Y, r9 \1 H  u

; i: q1 f+ a! U3 m! L2 c
2 ]$ E( G* c1 J# m" `' d


+ f7 R5 Y3 ]) l7 L; u
0 }% C! |7 e$ o9 a


6 T% Z5 g5 b6 P: u, Y. k# N现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
$ o# p, T& i& f1 q! {
( D: w5 D- Q+ X; q) z- K++,+-+,
5 |. A& V6 Z. b; X% c3 i3 c; \! R-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。
; c8 E* _; `+ I) _+ c
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

1 r7 w- D9 x* D9 A9 E

. n# g- K7 ~3 Q5 a
! E6 U: w6 ]) ?; D( u6 d


. Q7 d( g: X9 J' y; O
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
: H" U- K3 u4 }/ A" V
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
+ [! Q5 D' w- T7 b, S  Y
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
& s! }- c1 i2 B% S/ y2 l8 d
+ X: a$ s" q/ s$ M0 j  ~
9 @2 D8 ~  x7 |& Z! e4 e情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
( p/ D# H- K& ?( H3 N
  `+ T5 N' r9 ]/ J情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
' U+ U6 _0 l) |0 c. H
* h  g: |" L: v: ]& M" q) W- N情况三：
9 H6 `2 n7 G+ P0 O. G: F此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

. F2 e1 r9 h5 G0 o( l* c& H9 u& a由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

2 A: k: q  M- x: U
$ R( u0 Q& P: L9 `情况一：  
4 Y" r. `. ~& W  T# O9 Z9 E假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
" ]# K2 A& T6 E- p6 e8 i! L" Z
& d9 s# c0 D2 @9 E9 p
& U- j# v2 j) p# m9 f( P2 M$ {! K



这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
0 N; A. Y" [1 [, S
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式


/ `$ ^! q' F# B. c. U



这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
$ `- m! k: R+ q# p

9 k5 ~0 I+ H9 o' K  f


4 F/ ?* ?+ p  ^. h4 m2 L
& U  S6 O+ o. |8 [两边相加，并利用 、，得

$ `( K5 g% \; R! a0 C& Q5 h

8 V- {' h/ l9 W, h+ Y  ~/ [


若取前 c 项相加，则得

; {: w: L( U1 l$ |" |
. a- {( P! l- k  a
* k! G# y) y" _' M$ Y


2 j/ w! j# r- J情况三：  
仿二之解法，可求得

1 X$ L! Q5 W, G6 ~$ g8 d. B. e
0 a( `. n* K; J2 F# b, B% o
/ {3 G; |9 A, P6 ]
( M3 T0 k( R0 L8 z! ]8 f


保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

' g, D3 ?6 B* v5 }  I: v3 U首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

" N2 P* ~5 `# `0 G
8 c* I0 q- N5 W( t1 Q定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

! x" ]3 V+ w( j* ^* ^现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
8 i2 j: i) b3 I, v
" v( r0 l! ?1 W$ b1 A首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
+ d" T) i/ h8 k( `+ y
, U7 V; {2 q( G2 s至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

/ V' t1 P' H8 R
2 z2 |# z% Y+ P% a( \& ^, A




. t- }7 `: N$ ~! `, h
其中  为所下注之金额。利用
; o2 {& @+ u9 E
3 [' h  V9 p3 d1 v


# g. r* N. C9 W$ {3 ^) }+ ^

. B1 Q! {& u  I/ [8 Y. D0 Q5 c
+ r/ ~% k- z8 J& Z
# ]4 o/ P9 f9 z4 j' ~- m可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
7 G0 x; W5 V8 z3 P1 R



3 @; L1 r% b' I( t. j
7 D' {. V$ q- |# L4 u* k


因此可得在情况二， 时，
$ J3 L3 ^( O3 {- B  t. K( Y
- |5 N! }' s2 W/ n' c: |; J
! l( o1 i3 k9 D' m# h2 T  |' H2 A/ ~
" d3 J1 C6 z. R# g



$ Z% m$ ^: o; _1 S5 S
而在情况三， 时，
5 t% N& ]8 P/ e2 e# f  `

/ ~/ X- q& z2 Y0 Z- i
5 u6 k' f) l4 X2 F. o. ~' t




但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
' {2 E& ~8 u  d5 m0 g
: Z1 ]1 ?; h/ L) s" R3 g4 y至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
, q( n5 ^# Y# y8 @' B0 |
附录
2 l' }7 E4 @& p

/ A! ^* i; ^" Y" e5 Z' N在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

" b% p6 F) `' \& |1 D


! r% X, _" f/ U! g
- r: g; ^7 }3 j) S2 H: |! A6 T6 ]2 n) T


另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。