随机赛程的最佳策略

引言

: m5 s. D5 m& \7 W8 s在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

" I8 _3 t: A8 M问题
- t2 b2 w1 ?: K8 B8 @7 f7 i- c

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
4 f5 W7 @, H' d( B% }" ?3 z
+ o, o% m/ D4 b* [4 F1 a当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
) j' `& o/ ~: d" q0 y6 @6 D
+ u( `, N" Q' o6 n9 Z本文
- ^) \, e8 f: p, j
- a6 e  D* x, t
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
; q' K  z, [  c" w% l$ T
7 ?' N! J8 V! l7 p# }, X6 H: ^$ D为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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& F# X. r: ^6 m# d% s+ M# f方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
) k# N! L3 R- Z8 X. e0 U方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
# d4 Z* _( {# o3 }" v) g你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
7 f  ]  ~9 \- A% N6 I  ^
; ~, Y& x- _5 p9 A: E; ]) N首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
( b5 [* F9 b6 C" W+ o! x+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
1 ^& R# E: \9 L


' w* Q  R2 a1 v  y$ O

, Z" U7 c, a8 {! v5 W; O

4 `; w6 Z8 a2 J, F
0 C/ s( n3 d3 r  x! _
/ R( i* e! j* h6 S0 P0 J& a& Q% d. W+ \
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
$ G5 m; q( w' B, o
+ z  m0 a# w9 C; \++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
" d: n+ |: C7 r4 _6 {8 |  ~-+-+++,-+-++-+,
                                 
8 M% R. e; h: T1 m* z6 c/ _, ,
                                                                                。

6 v6 k/ t4 w$ t6 Z& g仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
( y* ^6 Q0 k$ z% e  F; B

$ n# X& i1 n! E9 [) {2 W5 L+ v
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& _5 }# a7 Z5 ^8 u
$ m! Z$ t* Z$ r1 a  {, n最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
1 w4 B6 q% E) {* @" c  K/ l: T
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
. Q$ u" |, P7 L' R
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
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( n# c$ V  u& a' X! {3 G
! ^& O! e+ w( k! Y9 v% ]5 V- {7 M情况一：  
% D5 E! r2 m$ L1 z) K( u( h+ F% t此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
/ R1 ]( @% U) W+ `4 ?" `3 D
2 g8 _! J7 H0 T6 _5 j* w情况二：  
% P: C" ]$ O& {8 T: h此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
$ r5 r$ H# }- W0 a, u/ B& ^/ G
1 O2 C5 o/ |* ]情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
' {; b( C" F) P! K' F7 H5 `
: i4 U+ v2 f- [' E3 A$ n2 O现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
9 X5 ^2 p, u4 }8 A
% h4 ]7 \  m) h2 J% y由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
) F9 g0 C7 ?! U" ]- C
* C5 {5 [/ Q( @6 K如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
) j8 Y/ A# D$ P) F7 m
, p9 W. r: j3 i4 I
1 D7 N. l$ o: S& Y; m


# Q/ S( v3 m) Y% U' U8 @
; j5 k- e+ D1 F7 q这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

3 s7 H) v; P/ g+ m( h/ L  [7 n: H& }
4 n/ S; h2 q8 \* r9 P



这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
& v- l+ `6 Q' T; M利用p+q=1，上组方程式可改写为

: m. a! S& e  H& R8 U( n
$ V  ^0 X3 h/ F

/ Y- q% M- O6 z& @

6 [# u2 t$ |+ z两边相加，并利用 、，得

! \1 m8 e3 G+ b3 O6 v+ S# [1 ~
: l$ U7 ~7 K  O/ Z3 K


, q2 o7 q! p/ ?2 y# k0 N- v
- e- f+ H7 q0 S0 a8 \若取前 c 项相加，则得
' M( Z# E9 Z7 K# t

& [0 U5 y# F! E. K0 c; o

& A0 z6 {8 r# ~8 K3 T) p6 b
; d8 R1 c! O3 X4 ^+ ~
- x7 [( m7 b" x; ]1 H- f# [0 ]3 x情况三：  
仿二之解法，可求得

; k4 y% A" i3 S5 _& {
' b( |% P* m# F2 N1 w# o4 f7 t7 N

  C. N* c0 ~( }" A) i" U0 v! l
' y! X( `5 ~, u

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

2 m; K- g: L! u( i) H2 Z; T3 g/ _首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

2 i7 l: o! E6 {2 M5 M
: j( Z9 l0 `1 s  d5 a# w定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
6 [% Q7 ^* j/ T# x# N, f此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

- `/ Z9 Y$ p  d( o现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
# ]1 p- E. u% X1 G
% u8 T1 a, ~( B7 {2 b6 P4 e. N首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
. S7 Y0 I" p; @5 j, _- B

! d# D6 U8 M2 k- t) D, s
) W( J% M1 O% `& n

0 s+ K. V/ n, r" \! }+ u. ~
  g3 N# L) ]7 {: I' t5 }

其中  为所下注之金额。利用


1 n$ S( L' v+ q2 r* l+ C7 d

6 }) E$ z/ [. y# R8 k# `5 c



可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
; Q9 d7 y4 p! w% k" q
+ @) }3 T3 u0 H6 ^* f' {: L

* H0 \' I" f1 n; r

# m9 `1 F. B0 W8 a9 b' U: M
$ t$ e/ ?7 T8 d, {, E- M; p

因此可得在情况二， 时，
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3 T0 J" f& k1 v8 I. D7 _
0 w& V7 C- D2 s6 X5 Q" E
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: n8 o3 H3 @6 M, j9 G! @- K+ P4 Q5 q

, u7 h+ m1 \& ?+ J8 u+ p+ C

而在情况三， 时，



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, x$ o( B, u, k- [, i& d

* D1 k9 I  k' B1 B& q
5 [$ J* I- a1 \! U& f* A但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

; J5 O1 \* r+ y至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
0 f- S8 S5 }7 w! C
附录
3 s& s& E& E8 Y2 M

6 W6 Y0 h7 z0 L3 B) G在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
, n) v6 ^6 ^* @' t6 v* x9 }5 p0 ]
- K/ y' \) e$ x9 V  f; K
5 [4 Y( f3 u% n2 t



' t* H0 v2 @0 g" N0 D

! J, ~8 l3 u& C9 x8 [另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！