此帖，估计你看不懂，否则你不会输钱。

大多数人不理解实值序列与最终结果之间的区别，结果是得出错误的结论，认为实值序列与最终结果是同一回事。这是一种可能会带来大量麻烦的共有的误解。是最终结果（而非实值序列）服从钟形曲线----即正态分布，一种特殊类型的概率分布。所有概率分布一个有趣的特性就是统计学上所称的标准差。
　　对于简单的二项百家乐游戏的正态概率分布（比如我们这里所用的抛硬币的最终结果），标准差（SD）为：SD=N*(((P*(1-P))/N)^(1/2))
　　其中，P=事件的概率（例如，出现正面的结果）。
; x' e( r( I! R) D, Y$ Z- I3 ?　　 N=试验次数。
　　
　　对于抛10枚硬币的情况（即，N=10）：
; R' z( W1 p" H$ {( K+ a2 Z+ O　　SD=10*(((0.5*(1-0.5))/10)^(1/2))
　　 =10*(((0.5*0.5)/10)^(1/2))
0 V0 T  N: z5 s( m' @! B　　 =10*((0.25/10)^(1/2))
  o8 s; m- s0 ^$ q* k: a: P　　 =10*(0.025^(1/2))
　　 =10*0.158113883
( x& o& T  i7 G2 H　　 =1.58113883
　　
7 {8 O4 t, o/ |! O　　某种分布的中线为这种分布的峰值。在抛硬币的例子中，峰值位于正面和反面的平均数处。因此，对于抛10枚硬币的序列，中线将位于5个正面5个反面处。对于正态概率分布，大约有68.26%的事件位于自中线±1个标准差区域内，有95.45%的事件位于自中线±2个标准差区域内，有99.73%的事件位于自中线±3个标准差区域内（见图1-2）。继续我们的抛10枚硬币的话题，1个标准差大约等于1.58。因此，我们可以说，抛10枚硬币有68%的机会我们可以预期由3.42（5-1.58）至6.58（5+1.58）组成的最终结果为正面（或反面）。因此，如果我们得到7个正面（或反面），我们将位于预期结果的1个标准差之外（预期结果为5个正面或5个反面）。
　　
　　图1-2 正态概率函数：中心线及其两侧两个标准差
　　
; U) [1 F2 D; c- B8 @
" y3 J8 V- |: E  g& R+ o
* q2 Y& `* j- Q0 ?& _2 M
　　
　　这里还有一个有趣的现象。注意：在我们抛硬币的例子中，随着抛硬币次数的增加，均等得到正面反面的概率在减小。对于两枚硬币，得到正1反1的概率为0.5。对于4枚硬币，得到50%的正面50%的反面的概率降至0.375。对于6枚硬币为0.3125，对于10枚硬币为0.246。因此我们可以说，随着事件数的增加，最终结果实际等于预期值的概率在减小。
% U$ i+ a& D) P  q0 Z　　
　　数学期望是我们预期平均每次下注所赢得或输掉的结果。然而，它并没有解释两次下注之间的波动。在我们抛硬币的例子中，我们知道抛一枚硬币出现正面或反面的概率为50/50。我们预期经过N次试验，大约有（1/2）*N抛掷将出现正面，（1/2）*N抛掷将出现反面。假定我们输时会输掉赢时所赢得的相同数量，我们可以说，不管N有多大，我们的数学期望均为0。
, Q) @2 F  x$ p　　
" S0 I2 @" P+ u6 J　　我们也知道，大约有68%的机会我们将位于期望值的±1个标准差之内。对于10次试验（N=10），这表示我们的标准差为1.58。对于100次（N=100）试验，这表示我们的标准差的 大小为5。对于1000次（N=1000）试验，标准差大约为15.81。对于10000次（N=10000）试验，标准差为50。
　　
' ^+ @1 F3 S9 r$ |, z) i　　N（试验次数） Std Dev（标准差） Std Dev/N（%）
1 d1 g9 g7 p$ S2 m" q　　10 1.58 15.8%
　　100 5 5.0%
4 w5 s" Z3 O0 q& K$ P0 o0 U" }# v  Z　　1000 15.81 1.581%
9 R$ Y/ h7 H! c; Q' `! w4 B　　10000 50 0.5%
　　
　　注意：随着N的增加，标准差也增加。这意味着与通常的信念相反，你赌得越久，你就离自己的期望值（以单位赢利或亏损表示）越远。不过，随着N的增加，标准差与N的百分比在减小。这意味着你赌得越久，你就越接近于你的期望值与全部行为（N）的百分比。这是“平均法则”正确的数学形式。换句话说，如果你进行长期的连续下注N，这里，T等于你的总赢利或总亏损，E等于你的期望赢利或期望亏损，则，随着N的增大，T/N趋近于E/N。另外，E和T之间的差异随着N的增大而增大。
, C% @6 l" M" y$ X　　
2 g: c* O+ y6 N& |  G　　在图1-3中，我们将观察到抛60枚硬币百家乐游戏中的随机过程。你也将在这张图中看到±1及±2个标准差的曲线。注意：不论如何弯曲，它们都会继续向外延伸。这服从我们刚刚谈及的平均法则。
　　
　　图1-3 随机过程：抛60枚硬币的结果，中线两侧各有1个及2个标准差
( l% J- x) U. v  R# r8 W' N3 S庄家优势（THE HOUSE ADVANTAGE）
6 l$ U. ^/ E* _  N; m2 W
/ ^( s  Y+ g% F$ R9 |
. m( K! I& @9 a
2 ^9 u0 n$ q) a  R0 I; \

" @( N% z# _9 d# e! v, ?# g　　
( X8 S5 m  F; a, b" X( P　　现在，我们来看涉及庄家优势时会发生什么情况。我们仍然要谈到抛硬币的例子。上一次，我们看到抛60枚硬币的对等或“公平”的百家乐游戏。现在，我们来看在庄家具有5%优势时会发生什么情况。这样一种百家乐游戏的例子是抛一枚硬币，当我们赢时可以赢得1.00美元，输时会输掉1.00美元。
　　
　　图1-4显示了与我们前面所看到的一样的抛60枚硬币的百家乐游戏，唯一区别是这里涉及5%的庄家优势。注意：在这种情况下，输光是难免的----因为上面的标准差开始向下弯曲（最终穿过下面的0轴）。
　　
　　我们来看一下继续参与数学期望为负的百家乐游戏时会发生什么情况。
6 y" T; q* E  ^# C- u6 X  @! N0 l　　
　　N（次数） Std Dec（标准差） 期望 ±1个标准差
　　10 1.580 -0.5 +1.08至-2.08
　　100 5 -5 0至-10
　　1,000 15.81 -50 -34.19至-65.81
. s% R6 c7 g. y$ [　　10,000 50 -500 -450至-550
& i# c( o7 w& }5 y. X+ N# x( p　　100,000 158.11 -5000 -4842至-5158
: m* |2 l9 w$ }; C" L3 s8 p, ~' G! X　　1,000,000 500 -50000 -49500至-50500
　　
7 \+ V6 L, f5 u2 B$ O　　在这里，统计学中的各态历经原理（the principle of ergodicity）在起作用。一个人来到DC连续100万次下注1美元或者100万人每人同时下注1美元没什么关系。数字是一样的。在DC开始亏钱之前，100万次下注将偏离数学期望100多个标准差！这里起作用的是平均法则。按照同样的考虑，如果你在庄家优势为5%的百家乐游戏中100万次下注1美元，你同样不可能赚钱。许多DC百家乐游戏具有超过5%的庄家优势，象大多数体育赌注一样。交易市场是一个零和百家乐游戏。然而，交易市场涉及到佣金、费用以及最低价降低（floor slippage）等形式的少量资金消耗。通常，这些成本可能会超过5%。
  F' h7 J4 S5 q' y! C! y　　

0 z+ K; q0 D4 j9 W' H5 C　　下面，我们来看抛100枚百家乐游戏具有或不具有5%庄家优势的统计数字：
　　
　　自中心的标准差 50/50的公平百家乐游戏 5%庄家优势的百家乐游戏
: F# k" O+ t. Q9 V* N+ w; X　　+3 +15 +10
* I  p/ t' Y: l; k  Q3 [* i　　+2 +10 +5
　　+1 +5 0
) ~  K6 w, D. }　　0 0 -5
, j$ _- g8 M* r6 l  n+ J　　-1 -5 -10
1 |) s. J2 W1 N　　-2 -10 -15
　　-3 -15 -20
　　
　　如我们可以看到的，对于3个标准差的情况，我们有99.73%的机会可以预期在一场公平百家乐游戏中赢或输在+15与-15个单位之间。在庄家优势为5%时可以预期，100次试验结束，我们的最后结果在+10与-20个单位之间。对于2个标准差的情况，我们有95%的机会可以预期在一场公平百家乐游戏中赢或输在±10之内。在庄家优势为5%的情况下，该数字为+5至-15个单位。对于1个标准差的情况，我们有68%的概率可以预期最后结果，我们在一场公平百家乐游戏中赢或输多达5个单位。然而，在庄家具有5%优势的情况下，我们可以预期最后结果在什么都赢不到与输掉10个单位之间！注意：在庄家优势为5%的情况下，在100次试验之后并非不可能赚钱，但是你必须比整整1个标准差做得更好。你会惊讶地获悉，在正态分布中，比整整1个标准差做得更好的概率只有0.1587！
' U. l% g9 L& S# q/ b' s; `　　
　　注意：在前面的例子中，自中线0个标准差（即，位于中线上）时，所输的金额就等于庄家优势。对于50/50的公平百家乐游戏，所输的金额等于0。你可能会预期不赢不输。在庄家优势为5%的百家乐游戏中，在0个标准差时，你预期输掉5%（即每100次试验输掉5个单位）。因此，我们可以认为，在涉及独立过程的单调下注的情况下，你将以庄家占优势的比率输钱。
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; k" }( Q+ z; Q  v. W: T* g庄家优势（THE HOUSE ADVANTAGE）
　　
　　现在，我们来看涉及庄家优势时会发生什么情况。我们仍然要提到抛硬币的例子。上一次，我们看到了抛60枚硬币的对等的或“公平的”百家乐游戏。现在，我们来看庄家具有5%的优势时会发生什么情况。这种百家乐游戏的一个例子就是抛一枚硬币，我们赢时赢得1.00美元，输时输掉1.00美元。
　　
　　图1-4 庄家优势为5%时抛60枚硬币的结果
* {# y4 S5 S4 H) U( r, D　　


　　
　　
' b+ W0 V, v8 d4 d1 H( G4 B　　图1-4显示了与我们前面所看到的抛60枚硬币相同的百家乐游戏，唯一的区别是这里涉及到5%的庄家优势。随着上面的标准差开始向下弯曲（最后穿越至零轴以下），请注意这种情况下输光是如何难以避免的。
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　　我们来看继续参与数学期望为负的百家乐游戏时会发生什么情况。
　　
* H8 l4 w' |) o. `　　N（次数） Std Dec（标准差） 期望 ±1个标准差
+ F# w, ?. S/ \　　10 1.580 -0.5 +1.08至-2.08
　　100 5 -5 0至-10
* P$ G  ?  i9 f: S2 j9 p　　1000 15.81 -50 -34.19至-65.81
* I7 h3 }0 o, `! ]　　10000 50 -500 -450至-550
! p5 w, f/ ^4 E　　100000 158.11 -5000 -4842至-5158
( e/ l2 X$ L8 x7 ]　　1000000 500 -50000 -49500至-50500
　　
　　这里，统计学中的各态历经原理（the principle of ergodicity）在起作用。无所谓是一个人到DC连续100万次下注1美元还是100万人到DC每人同时下注1美元。数字是相同的。对于100万赌注的情况，在DC开始输钱之前，你已经偏离期望值100多个标准差！这里是平均法则在起作用。基于同样的理由，如果你打算在庄家优势为5%的百家乐游戏中100万次下注1美元，你同样不可能赢钱。许多DC百家乐游戏就象大多数体育赌注一样，具有超过5%的庄家优势。交易市场是一种零和百家乐游戏。然而，交易市场涉及到少量的佣金、费用以及最低价降低（floor slippage）等形式的资金消耗。通常，这些成本可能会超过5%。
　　
　　自中心的标准差 50/50公平的百家乐游戏 5%庄家优势的百家乐游戏
' J9 A6 |. M% z, X- K2 _　　+3 +15 +10
　　+2 +10 +5
　　+1 +5 0
) n1 W9 s' r! G+ ]  Q8 p4 v　　0 0 -5
　　-1 -5 -10
　　-2 -10 -15
" f2 k9 G+ m$ t$ v　　-3 -15 -20
　　
　　如我们能看到的，对于3个标准差的情况，在公平百家乐游戏中，我们可以预期99.73%的机会结果是我们赢输在±15个单位之间。在庄家优势为5%时，我们可以预期100次试验结束，我们的最后结果将在+10与-20个单位之间。对于2个标准差的情况，在公平百家乐游戏中，我们可以预期有95%的机会结果是我们赢输在±10个单位之间。在庄家优势为5%时，这一结果在+5与-15个单位之间。对于1个标准差的情况，在公平百家乐游戏中，我们有68%的概率可以预期最后结果是我们赢输多达5个单位。然而，在庄家具有5%优势的百家乐游戏中，我们可以预期最后结果在什么都赢不到与输掉10个单位之间！注意：在庄家优势为5%时，100次试验之后并非不可能赢钱，但是你必须要比整一个标准差做得更好才行。你会吃惊地得知，在正态分布中，你比整一个标准差做得更好的概率仅为0.1587！
0 X$ D* @. P! J. |5 z3 W. S　　
　　注意：在前面的例子中自中线0个标准差（即，中线本身）处，你输掉的金额就等于庄家优势。对于50/50的公平百家乐游戏，这一结果等于0。你预期不赢不输。在庄家具有5%优势的百家乐游戏中，在自中线0个标准差处，你预期将输掉5%（即，每100次试验5个单位）。因此，你可以说，在涉及独立过程的单调下注情况下，你将以庄家优势的比率输钱。
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' M* v, s6 H; N  N小于零的数学期望意味着灾难（MATHEMATICAL EXPECTATION LESS THAN ZERO SPELLS DISASTER）！
　　
/ L$ K4 e' x  K. w5 u  Y" p# T　　这带给我们另一条公理，可以表述如下：在负期望百家乐游戏中，任何资金管理方案都不会使你成为赢家。如果你继续下注，不管你用什么方式管理自己的资金，几乎可以肯定你将成为输家，不论你一开始有多少赌注，你都会输光你全部的赌注。
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5 p1 P* h1 L" n: F9 Y　　这听上去似乎发人深思。负的数学期望（不管是负多少）已造成家庭破裂、自杀和谋杀，以及所有其他各种出乎赌徒们意料的结果。我希望你能够认识到，对负的期望下注是怎样一种令人难以置信的亏钱买卖，因为，即使是很小的一个负期望最终都会使你输掉每一分钱。从数学的观点来看，所有试图比这种过程更聪明的尝试都是徒劳的。不要将这一观点与是否涉及非独立或独立试验过程相混淆；这毫无关系。如果你的赌注总和是负的期望，你就是在做亏钱的买卖。
6 A! T6 [. n( Z- W7 H2 v9 S8 i　　
1 v% f+ ^0 R6 i  q2 T& ^) f　　举个例子，你参与一个你具有1/10注优势的非独立试验过程，那么，你必须在你具有优势的赌注下足够多的注，才能使所有这10注之和为正的期望。如果你预期在10注中有9注平均输10分钱，但是你期望在你知道自己具有优势的1/10注上赢10分钱，那么你必须在你知道自己具有优势的赌注上下注超过9次之多，仅仅是正好出现一个净期望。如果你下的注比上面所说的少，你就仍处在负期望的情形中，而且，如果你继续赌下去的话，几乎可以肯定你会彻底输光。
　　
　　许多人错误地认为，参与一个负期望的百家乐游戏将输掉本钱相对于负期望的一定百分比。例如，当大多数人得知轮盘赌的数学期望为5.26%时，他们似乎认为这意味着，他们到DC玩轮盘赌可以预期平均输掉自己赌注的5.26%。这是一种危险的误解。事实是，他们可以预期输掉自己全部活动（total action）的5.26%，而不是自己全部赌注的5.26%。假定他们带500美元去玩轮盘赌。如果他们每次20美元下500注，他们的全部活动就是10000美元，他们可以预期输掉5.26%或者526美元，这超过了他们的全部赌注。
　　
! `5 ^* |; K. x9 a7 h　　唯一聪明的做法就是当你具有正的期望时才下注。如我们将在后面一章中看到的，并不象负期望就是亏钱买卖一样，正期望就是轻而易举的赚钱买卖。你必须下注明确的数量，这个问题将详尽地讨论。但是，目前我们解决只在正期望市场条件下下注的问题。
　　
　　至于DC的Dubo，你唯一可以发现正期望的情形是你必须在二十一点牌戏中记住牌，然后，你必须是一位出色的牌手，而且你必须正确地下注。可以找到很多有关二十一点牌戏的好书，因此，对二十一点牌戏我们这里就不再赘述。
　　
巴卡拉牌戏（BACCARAT）
5 z, u9 g" q2 y+ b; H- _* {: ~　　
/ B9 F$ l4 N( s9 ~- p3 V　　如果你想去DCDubo，却又不想学会正确地玩二十一点，那么，在所有别的DC百家乐游戏中，巴卡拉牌戏具有最小的负期望。换句话说，你会以较低的比率输钱。下面是巴卡拉牌戏中的概率：
　　
3 P4 o1 |; O- w+ T　　45.842%的时间银行家赢。
/ ], e" E! I9 K! R　　44.683%的时间百家乐游戏者赢。
　　9.547%的时间出现平局。
　　
　　因为，平局被视为巴卡拉牌戏中一个PUSH（没有资金换手，净效果与这把牌没有玩一样），平局去除时概率就变成：
" |: l5 z$ c6 G" M4 @, [　　
+ |9 Q. n$ G  L4 J# l　　50.68%的时间银行家赢。
( g: V/ G3 C; k+ z　　49.32%的时间百家乐游戏者赢。
9 D: I; D1 d% @- P　　
- B1 u0 l; E4 R* E# ]8 ~/ E4 p0 m% x+ ~　　现在我们来看数学期望。对于百家乐游戏者一方：
　　
　　ME=(0.4932*1)+((1-0.4932)*(-1))
　　 =(0.4932*1)+(0.5068)*(-1)
3 z+ p' z1 P! U" L3 e　　 =0.4932-0.5068
( E- x6 K0 n# ~- i" D  [* r% s　　 =-0.0136
　　
　　换句话说，庄家对百家乐游戏者的优势为1.36%。
5 p% g6 S. c! y! `& r5 v0 }　　
　　现在，对于银行家一方，记住只在银行家一方赢钱时才加收5%的佣金，数学期望为：
　　
2 h$ D, P: B, a7 y6 [* w( |+ k　　ME=(0.5068*0.95)+((1-0.5068)*(-1))
: \% j& o) S! e" P, s0 t　　 =(0.5068*0.95)+(0.4932*(-1))
' b9 F* f5 e9 ]% w/ ?0 {; q　　 =0.48146-0.4932
+ h+ q  r1 g' y　　 =-0.01174
9 W, A9 T0 _2 n# W1 b- U- \　　
" m% I8 Y" n! C- n7 ~　　换句话说，一旦在银行家赢钱时加收5%的佣金，庄家就具有1.174%的优势。
- L' a% l9 c& `9 x* A　　
　　如你所看到的，对百家乐游戏者下注毫无意义，因为百家乐游戏者的负期望比银行家的负期望还要糟：
" ?" V5 s2 |" u  {( r　　
4 F2 Z6 C2 `# @( n3 [$ t　　百家乐游戏者的优势 -0.0136
- [0 V8 p# _2 }　　银行家的优势 -0.01174
! F5 q' t7 b& U0 f" x! R　　银行家相对百家乐游戏者的优势 0.00186
　　
9 m+ d" ^3 f; s- M. {' y3 s8 x5 W# M　　换句话说，经过大约538手（1/0.00186），银行家将领先百家乐游戏者1个单位。如果再玩更多手，这一优势将更加明确。
' H2 s+ q! X3 s) \　　
　　这并不表示银行家具有正期望----银行家不具有正期望。银行家和百家乐游戏者都具有负期望，但是银行家没有百家乐游戏者的负值大。如果每一手你都对银行家下注一个单位，你可以预期大约每85手（1/0.01174）输掉一个单位；而如果每一手你都对百家乐游戏者下注一个单位，你预期每74手（1/0.0136）输掉一个单位。你会以较缓慢的比率、但不一定是较缓慢的速度输钱。大多数巴卡拉牌桌都有25美元的最低赌注。如果每一手你对银行家下注一个单位，经过85手你可以预期失去25美元。
　　
6 _6 z1 ~' h+ l1 B0 W1 s　　我们来比较一下巴卡拉牌戏中的下注与轮盘赌中对红球/黑球的下注。在轮盘赌中，你的数学期望为-0.0526，但最低下注规模为2美元。经过85次旋转，你预期失去大约9美元（2*85*0.0526）。正如你可以看到的，数学期望也是全部赌注金额（即，全部操作）的函数。如同我们在巴卡拉牌戏中所做的，每次旋转我们都对红色轮盘（或黑色轮盘）下注25美元，与巴卡拉牌戏中的期望损失25美元相比，经过85次旋转我们预期失去112美元。
/ r6 B$ o9 K# c* X% J) u3 M& _  f/ ]$ _　　
* p1 j1 Z! H$ |: k3 X$ j   
数字百家乐游戏（NUMBERS）
　　
　　最后，我们来看一下数字百家乐游戏中有关的概率。如果巴卡拉牌戏是富人的百家乐游戏，数字百家乐游戏就是穷人的百家乐游戏。数字百家乐游戏中的概率绝对令人感到凄惨。这里有一种百家乐游戏，百家乐游戏者可以在0-999之间任选一个3位数，并且下注1美元赌这个数字会被选中。被选中作为当天数字的数字通常：（1）无法被操纵；（2）可以广为宣传。举个例子，取股票市场日成交量后5位数字的前3位数字。如果百家乐游戏者输了，他下注的1美元就输掉了。如果百家乐游戏者碰巧赢了，回报就是700美元，他就得到699美元的净利润。数字百家乐游戏的数学期望为：
　　
" }; A4 F. {1 K) ?  x! K　　ME=(699*(1/1000))+((-1)*(1-(1/1000)))
# A( G- a  L5 d6 N. O　　 =(699*(0.001))+((-1)*(1-0.001))
! S( T2 y0 s: U$ ?3 I　　 =0.699+(-0.999)
6 ?! B  i4 [* K" R　　 =-0.3
; k, ]% g' S- u　　
' g* l4 [, ]( T+ h8 l6 `　　换句话说，你的数学期望是所操作的每一美元输掉30美分。这远比包括科诺（Keno）在内的任何DC百家乐游戏都更加不利。与轮盘赌这样的概率不利的百家乐游戏相比，数字百家乐游戏的数学期望的不利程度几乎为其6倍。以数学期望来表示，唯一比这种情况更加不利的Dubo是大部分的足球彩票以及许多种联邦彩票。

谢谢分享，呵呵

楼主辛苦了。

数学只考29分的人低头路过！！！:L

楼主现在天天赢钱吗

　 楼主你不是人·······哈哈　 　 这样哪里看得懂啊

估计看懂了也赢不了

不懂 只懂假设检验

果然KANBUDONG

看得懂的人不用赌了:lol

看得懂的人不用赌了:lol

看得懂的人不用赌了:lol

看得懂的人不用赌了:lol

回复 14# huanhui
1 ]2 [' f, q2 Q0 ]8 D也未必

太长了  就没看

回复 16# bjhbjh

& B0 @+ R; \; d( s
0 r4 ^/ C9 {: Z1 w. \    呵呵

楼主你就看懂？